Question

函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1；③f(

x

3

)=

1

2

f(x)，则f(

1

3

)+f(

5

12

)的值为

 

．

Answer 1

分析：由已知条件求出f（1）、f（

1

2

）、f（

1

3

）、f（

1

9

）、f（

1

6

）的值，利用当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），
∴

1

9

＜

5

36

＜

1

6

，有f（

1

9

）≤f（

5

36

）≤f（

1

6

），而f（

1

9

）=

1

4

=f（

1

6

），有 f（

5

36

）=

1

4

，结果可求．

解答：解：∵函数f（x）在[0，1]上为非减函数，①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1，∴f（1）=1，
令x=

1

2

，所以有f（

1

2

）=

1

2

，又∵③f(

x

3

)=

1

2

f(x)，∴f（x）=2f（

x

3

），f（

5

12

）=2f（

5

36

）
f（

x

3

）=

1

2

f（x），令x=1，有f（

1

3

）=

1

2

f（1）=

1

2

，
令x=

1

3

，有f（

1

9

）=

1

2

f（

1

3

）=

1

4

，f（

1

6

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，
非减函数性质：当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），∴

1

9

＜

5

36

＜

1

6

，有f（

1

9

）≤f（

5

36

）≤f（

1

6

），
而f（

1

9

）=

1

4

=f（

1

6

），所以有 f（

5

36

）=

1

4

，则f(

1

3

)+f(

5

12

)=

1

2

+2f（

5

36

）=

1

2

+2×

1

4

=1．

点评：本题考查抽象函数的应用，充分利用题意中非减函数性质．