Question

18．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，点（$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）在椭圆上．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）斜率为1的直线l，交椭圆M于不同的点A，B两点，若以线段AB为直径的圆经过原点O．求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据斜率公式以及点在椭圆上，即可求出a²=3，b²=$\frac{3}{4}$，得到椭圆的方程，
（2）设直线l的方程为y=x+m，将y=x+m代入x²+4y²=3，并整理得5x²+8xm+4m²-3=0，根据韦达定理以及由题意可得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，即可得到关于m的方程，解得即可．

解答 解：（1）由e²=$\frac{3}{4}$=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴a=2b，
又点（$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）在椭圆上，
∴$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，
∴a²=3，b²=$\frac{3}{4}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{4}}$=1，
（2）设直线l的方程为y=x+m，将y=x+m代入x²+4y²=3，并整理得5x²+8xm+4m²-3=0，
则△=（8m）²-20（4m²-3）＞0，解得-$\frac{\sqrt{15}}{2}$＜m＜$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-3}{5}$，
∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²，
由题意可得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，
∴2•$\frac{4{m}^{2}-3}{5}$+m•（-$\frac{8m}{5}$）+m²=0，
解得m=±$\frac{\sqrt{30}}{5}$，此时m（-$\frac{\sqrt{15}}{2}$，$\frac{\sqrt{15}}{2}$），
∴直线l的方程为y=x±$\frac{\sqrt{30}}{5}$

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量垂直的合理运用．