Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1，
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标。

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
则，解得，
∴椭圆C的标准方程为。
（Ⅱ）由方程组消去y，得(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0，
由题意Δ=(8km)²-4(3+4k²)(4m²-12)＞0，
整理得：3+4k²-m²＞0， ①
设M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，
则，
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A(2，0)，
∴(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂=0，
即(1+k²)x₁x₂+(km-2)(x₁+x₂)+m²+4=0，
也即，
整理得7m²+16mk+4k²=0，解得m=-2k或，均满足①．
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点(2，0)，不符合题意，舍去；
当时，直线l的方程为，过定点，
故直线l过定点，且定点的坐标为。