Question

设f（x）=x²+px+q（p，q∈R），证明：
（1）|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于

1

2

；
（2）若|p|+|q|＜1，则f（x）=0的两个根的绝对值都小于1．

Answer 1

分析：（1）根据题意，首先假设命题错误，即假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于

1

2

，进而可得a：|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|＜2，，再分析，|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|三项的和，可得矛盾，即可证原命题成立．
（2）假设f（x）=0的两根x₁，x₂的绝对值不都小于1，不妨设|x₁|≥1，那么由韦达定理，有|p|+|q|≥1这与题设矛盾，故假设不成立，即原命题得证．

解答：解（用反证法）
（1）假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于

1

2

，则有：|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|＜

1

2

+2×

1

2

+

1

2

=2，
又，|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|≥f（1）-2f（2）+f（3）=（1+p+q）-2（4+2p+q）+（9+3p+q）=2         （ii）
（i）与（ii）矛盾，故假设不成立，即原命题成立．                 …（5分）
（2）假设f（x）=0的两根x₁，x₂的绝对值不都小于1，不妨设|x₁|≥1，那么由韦达定理，有
|p|=|-（x₁+x₂）|=|x₁+x₂|≥|x₁|-|x₂|≥1-|x₂||q|=|x₁x₂|=|x₁|•|x₂|≥|x₂|
两式分边相加，得|p|+|q|≥1
这与题设矛盾，故假设不成立，即原命题得证．                          …（5分）

点评：点评：本题考查反证法的运用，注意用反证法时，需要首先否定原命题，特别是带至少、最多词语一类的否定．