Question

对任意函数f（x），x∈D，可按如图构造一个数列发生器，记由数列发生器产生数列{x_n}．
（1）若定义函数，且输入，请写出数列{x_n}的所有项；
（2）若定义函数f（x）=xsinx（0≤x≤2π），且要产生一个无穷的常数列{x_n}，试求输入的初始数据x₀的值及相应数列{x_n}的通项公式x_n；
（3）若定义函数f（x）=2x+3，且输入x₀=-1，求数列{x_n}的通项公式x_n．

Answer 1

解：（1）函数的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞）…（1分）
把代入可得，把代入可得，把代入可得x₃=-1
因为x₃=-1∉D，
所以数列{x_n}只有三项：…（4分）
（2）若要产生一个无穷的常数列，则f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，
即x（sinx-1）=0在[0，2π]上有解，则x=0或sinx=1，所以x=0或…（6分）
即当
故当x₀=0时，x_n=0；当． …（9分）
（3）f（x）=2x+3的定义域为R，…（10分）
若x₀=-1，则x₁=1，
则x_n+1=f（x_n）=2x_n+3，所以x_n+1+3=2（x_n+3），…ks5u…（12分）
所以数列{x_n+3}是首项为4，公比为2的等比数列，
所以，所以，
即数列{x_n}的通项公式． …（14分）
分析：（1）函数的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），由此能推导出数列{x_n}只有三项．
（2）若要产生一个无穷的常数列，则f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，由此能求出输入的初始数据x₀的值及相应数列{x_n}的通项公式x_n．
（3）f（x）=2x+3的定义域为R，若x₀=-1，则x₁=1，则x_n+1+3=2（x_n+3），从而得到数列{x_n+3}是首项为4，公比为2的等比数列，由此能求出数列{x_n}的通项公式．
点评：本题考查数列的所有项的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．