Question

某公司帮助残疾人商店，将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元/件）之间的关系为q=

-2p+140，40≤p＜58 p-80，  58≤p≤81

；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元．
（Ⅰ）若当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（Ⅱ）若该店只安排40名职工工作，求月利润关于销售价P的函数关系式，并求月利润的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当40≤p≤58时，p、q的关系为：-2p+140=q，据此当p=52时，可求得q，设此时该店的职工人数为m，利用该店正好收支平衡可求得该店的职工人数；
（Ⅱ）设该店月收入为S，对p分①当40≤p≤58与②58＜p≤81时，求得各自的最大月利润，比较后可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意，当40≤p≤58时，p、q的关系为：-2p+140=q；
当p=52时，q=36．
设此时该店的职工人数为m，则：3800（52-40）=600m+13200，
解得：m=54，即该店的职工人数为54人；
（Ⅱ）设该店月利润为S，
则①当40≤p≤58时，S=100（p-40）（-2p+140）-13200-600×40=-200（p-55）²+7800，
即当p=55时，最大月利润S₁=7800．
②当58＜p≤81时，S=100（p-40）（-p+82）-13200-600×40=-100（p-61）²+6900，
即当p=61时，最大月利润S₂=6900．
由于S₁＞S₂，故当p=55时，月利润的最大值为7800元．

点评：本题考查分段函数的应用，突出考查二次函数的最值，考查配方法，考查分类讨论思想与运算能力，正确运用分段函数是关键．