Question

已知f（x）=2+

2

cos(2x+

π

4

)的图象向左平移m个单位（m＞0），得到的图象关于直线x=

17π

8

对称．
（1）求m的最小值；
（2）已知方程f（x）=p在（0，π）内有两个不相等的实根x₁，x₂，求p的取值范围及x₁+x₂的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得平移后的函数解析式为y=2+

2

cos(2x+2m+

π

4

)，又由三角函数在其对称轴处取得最值，可得x=

17π

8

时，y=2+

2

cos(2x+2m+

π

4

)取得最值，即可得m所有可能值，进而可求m的最小值；
（2）由于与三角型函数有关的方程有两解，可以转化为y=f（x）与y=p的图象有两个交点，利用数形结合来做．

解答：解：（1）f（x）图象左移m个单位得到的函数表达式为y=2+

2

cos(2x+2m+

π

4

)…（2分）
又该图象关于直线x=

17π

8

对称，2×

17π

8

+2m+

π

4

=kπ，k∈Z…（4分）
得到m=

kπ

2

-

9π

4

，…（5分）
∵m＞0，
∴当k=5时，m的最小值为

π

4

…（6分）
（2）设t=2x+

π

4

，0＜x＜π，则y=2+

2

cost，

π

4

＜t＜

9π

4

…（7分）
f（x）=p在（0，π）内有两个不相等的实根，
则cost=

p-2

2

在(

π

4

，

9π

4

)内有两个不相等的实根，…（8分）
数形结合可得   -1＜

p-2

2

＜1，且

p-2

2

≠

2

2

，…（11分）
则2-

2

＜p＜2+

2

且p≠3…（12分）
当t1，t2∈(

π

4

，

7π

4

)时t₁+t₂=2π；当t1，t2∈(

7π

4

，

9π

4

)时t₁+t₂=4π．
即2x1+

π

4

+2x2+

π

4

=2π或2x1+

π

4

+2x2+

π

4

=4π…（13分）
∴x1+x2=

3π

4

或

7π

4

…（14分）

点评：本题考查了三角函数图象变换及三角函数的一些性质．注意三角函数的有关题目常用数形结合来解决．