Question

为了减少交通事故，某市在不同路段对机动车时速有不同的限制．2011年6月9日，在限速为70km/h的某一路段上，流动测速车对经过该路段的100辆机动车进行测速，如图是所测100辆机动车时速的频率分布直方图．
（Ⅰ）估计这100辆机动车中，时速超过限定速度10%以上（包括10%）的机动车辆数；
（Ⅱ）该市对机动车超速的处罚规定如下：时速超过限定速度10%以内的不罚款；超过限定速度10%（包括10%）以上不足20%的处100元罚款；超过限定速度20%（包括20%）以上不足50%的处200元罚款；…．设这一路段中任意一辆机动车被处罚款金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望．（以被测的100辆机动车时速落入各组的频率作为该路段中任意一辆机动车时速落入相应组的概率）

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得，时速超过限定速度10%的时速为70×（1+10%）=77（km/h）
由频率分布直方图得，时速在[77，80）中的车辆数为0.020×10×100×=6；
时速在[80，90）中的车辆数为0.004×10×100=4；
时速在[90，100）中的车辆数为0.002×10×100=2
∴估计这100辆机动车中，时速超过限定速度10%以上（包括10%）的机动车辆数6+4+2=12；
（Ⅱ）由题意，超过限定速度20%的时速为70×（1+20%）=84（km/h）
超过限定速度50%的时速为70×（1+50%）=105（km/h）
因此，X的可能取值为0，100，200
P（X=0）=1-0.02-0.04-0.20×0.3=0.88
P（X=100）=0.2×0.3+0.04×0.4=0.076
P（X=200）=0.04×0.6+0.02=0.044
所以X的分布列为

X	0	100	200
P	0.88	0.076	0.044

X的数学期望为EX=100×0.076+200×0.044=16.4
分析：（Ⅰ）求出时速超过限定速度10%的时速，根据频率分布直方图得，分别计算时速在[77，80）、[80，90）、[90，100）中的车辆数，即可得到结论；
（Ⅱ）由题意，超过限定速度20%的时速为70×（1+20%）=84（km/h），超过限定速度50%的时速为70×（1+50%）=105（km/h），从而X的可能取值为0，100，200，求出相应的概率，可得X的分布列与数学期望．
点评：本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，解题的关键是读懂图形，理解题意．