Question

用二项式定理证明：

3²ⁿ⁺²-8n-9是64的倍数（n∈N).

Answer 1

分析：①变为二项式形式；②与64联系上.

证明：3²ⁿ⁺²-8n-9=9ⁿ⁺¹-8(n+1)-1=(8+1)ⁿ⁺¹-8(n+1)-1=8ⁿ⁺¹+C8ⁿ+C8^n-1+…+C8²++8+

C-8(n+1)-1=8²(8^n-1+C+18^n-2+…+C).

∵括号内每一项都是自然数，和为自然数，

∴上式是64的倍数，即3²ⁿ⁺²-8n-9是64的倍数.

绿色通道:利用二项式定理可以求余数和证明整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.