Question

2．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且acosC+（c-2b）cosA=0．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简acosC+（c-2b）cosA=0，由两角和的正弦公式和诱导公式求出cosA，由内角的范围求出A；
（Ⅱ）法一：由余弦定理，基本不等式可求bc≤4，利用三角形面积公式即可求解；
法二：由（Ⅰ）得B+C=$\frac{2π}{3}$⇒C=$\frac{2π}{3}$-B（0＜B＜$\frac{2π}{3}$），
由正弦定理得b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinB，c=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinC，利用三角形面积公式可得S_△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，利用正弦函数的性质可求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由acosC+（c-2b）cosA=0及正弦定理得：
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA．
所以sin（A+C）=2sinBcosA．…（2分）
即sinB=2sinBcosA．
因为sinB≠0，所以cosA=$\frac{1}{2}$．…（4分）
又0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知A=$\frac{π}{3}$，又a=2，由余弦定理得2²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$，…（8分）
即b²+c²-bc=4⇒bc+4=b²+c²≥2bc⇒bc≤4，当且仅当b=c=2时等号成立．…（10分）
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$bc≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4=$\sqrt{3}$，
即当b=c=2时，S_△ABC取得最大值$\sqrt{3}$．…（12分）
法二：由（Ⅰ）得B+C=$\frac{2π}{3}$⇒C=$\frac{2π}{3}$-B（0＜B＜$\frac{2π}{3}$），
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
所以b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinB，c=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinC．…（8分）
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinB×$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinCsin$\frac{π}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinBsinC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinBsin（$\frac{2π}{3}$-B）
=sin2B-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos2B+$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（10分）
易知-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
故当2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$时，S_△ABC取得最大值，最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦公式和诱导公式，以及整体代换，属于中档题．