Question

10．已知函数f（x）=lnx+ax．
（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=4x+1平行，求a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，函数的导数，利用斜率求出a，即可．
（2）求出函数f（x）的导函数，在定义域下，讨论a≥0，a＜0，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．

解答 解（1）：因为f′（x）=$\frac{1}{x}$+a  所以f′（1）=a+1  即切线的斜率k=a+1，
又f（1）=a，
所以切线方程为：y-a=（a+1）（x-1），
即y=（a+1）x-1，
又切线与直线y=4x+1平行
所以a+1=4，即a=3，
（2）：由（1）得 f′（x）=$\frac{1}{x}$+a=$\frac{ax+1}{x}$，x＞0，
若a＞0，则f′（x）＞0，
此时函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，
若a＜0，则 当ax+1＞0即0＜x＜-$\frac{1}{a}$时，f′（x）＞0，
当ax+1＜0即x＞-$\frac{1}{a}$时，f′（x）＜0，
此时函数f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）上为单调递增函数，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）上为单调递减函数．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性与极值，切线方程的应用，考查转化思想以及计算能力．