Question

设函数f(x)=x⁴+ax³+2x²+b(x∈R),其中a,b∈R.

(1)当a=时,讨论函数f(x)的单调性;

(2)若函数f(x)仅在x=0处有极值,求a的取值范围;

(3)若对于任意的a∈［-2,2］,不等式f(x)≤1在［-1,1］上恒成立,求b的取值范围.

Answer 1

答案：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.

解:(1)f′(x)=4x³+3ax²+4x=x(4x²+3ax+4).

当a=时,

f′(x)=x(4x²-10x+4)=2x(2x-1)(x-2).

令f′(x)=0,解得x₁=0,x₂=,x₃=2.

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x	(-∞,0)	0	(0,)		(,2)	2	(2,+∞)
f′(x)	-	0	+	0	-	0	+
f(x)	↘	极小值	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以f(x)在(0,),(2,+∞)内是增函数,在(-∞,0),(,2)内是减函数.

(2)f′(x)=x(4x²+3ax+4),显然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根.

为使f(x)仅在x=0处有极值,必须4x²+3ax+4≥0恒成立,即有Δ=9a²-64≤0.

解此不等式,得≤a≤.

这时,f(0)=b是唯一极值.

因此满足条件的a的取值范围是［,］.

(3)由条件a∈［-2,2］可知Δ=9a²-64＜0,

从而4x²+3ax+4＞0恒成立.

当x＜0时,f′(x)＜0;当x＞0时,f′(x)＞0.

因此函数f(x)在［-1,1］上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者.

为使对任意的a∈［-2,2］,不等式f(x)≤1在［-1,1］上恒成立,当且仅当即在a∈［-2,2］上恒成立.

所以b≤-4,因此满足条件的b的取值范围是(-∞,-4］.