Question

设单调递增等比数列{a_n}满足a₁+a₂+a₃=7，且a₃是a₁，a₂+5的等差中项，
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）数列{c_n}满足：对任意正整数n，

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn

an

=22+

2n-11

2n-1

均成立，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）将已知条件a₁+a₂+a₃=7，且a₃是a₁，a₂+5的等差中项，用基本量表示，列出方程组，求出首项与公比，利用等比数列的通项公式求出数列{a_n}的通项．
（2）根据已知等式仿写出新等式

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn-1

an-1

=22+

2n-13

2n-2

，两式相减求出数列{c_n}的通项，利用等差数列的前n项和公式求出数列{c_n}的前n项和．

解答：解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则

a1+a1q+a1q2=7 a1+a1q+5=2a1q2

，
两式相减，得a₁q²=4，（3分）
代入第一方程得

4

q2

+

4

q

+4=7，
解得q=2或q=-

2

3

（舍），
又a₁=1，
所以a_n=2^n-1（6分）
（2）对任意正整数n，

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn

an

=22+

2n-11

2n-1

均成立，
n=1时，c₁=13（8分）
当n≥2时，

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn-1

an-1

=22+

2n-13

2n-2

，
两式相减得

cn

an

=

2n-11

2n-1

-

2n-13

2n-2

=

15-2n

2n-1

所以n≥2时，c_n=15-2n，
n=1也满足此式 （12分）
∴Sn=

(13+15-2n)n

2

=-n²+14n（14分）

点评：解决等差数列、等比数列的有关问题，一般利用通项公式及前n项和公式列出方程组，求出基本量，然后在解决．