Question

方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1的曲线为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），下面结论中正确的个数是
（　　）
①f（x）在R上单调递减；
②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；
③函数y=f（x）的值域是R；
④若函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称，则y=g（x）的图象是方程

y|y|

16

+

x|x|

9

=1所确定的曲线．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：先根据题意画出方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1的曲线即为函数y=f（x）的图象，轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形，根据图形逐一判断四个命题即可得到答案．

解答：解：由方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1，得：

x2 16 + y2 9 =1，x≥0，y≥0 y2 9 - x2 16 =1，x≥0，y≤0 x2 16 - y2 9 =1，x≤0，y≥0 x2 16 + y2 9 =1，x≤0，y≤0

，
∴函数y=f（x）的图象如图所示．
轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．

从图形中可以看出，关于函数y=f（x）的有下列说法：
①f（x）在R上单调递减，①正确；
②由于4f（x）+3x=0，得f（x）=-

3

4

x，由图形结合双曲线的渐近线可知，函数f（x）的图象与直线y=-

3

4

x没有交点，故函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点，②正确；
③函数y=f（x）的值域是R，③正确；
④若函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称，则y=g（x）的图象是方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=1所确定的曲线，④错误．
其中正确的个数是3．
故选C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，考查了圆锥曲线的方程和图象，体现了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．