Question

已知α，β都是锐角，且cosα=

5

5

，sin(α+β)=

4

5

，则tanβ为（　　）

• A、2
• B、-

  2

  11

• C、-

  2

  11

  或2
• D、

  2

  11

  或-2

Answer 1

分析：根据cosα与sin（α+β）的值，确定出α与α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα与cos（α+β）的值，cosβ变形为cos[（α+β）-α]，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算求出cosβ的值，进而确定出sinβ，得到tanβ的值．

解答：解：∵α，β都是锐角，且cosα=

5

5

＜

1

2

，sin（α+β）=

4

5

＞

2

2

，
∴α＞

π

3

，

π

2

＜α+β＜π，
∴sinα=

1-cos2α

=

2 5

5

，cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

3

5

，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinβ=-

3

5

×

5

5

+

4

5

×

2 5

5

=

5

5

，
∴sinβ=

1-cos2β

=

2 5

5

，
则tanβ=2．
故选A

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．