Question

下列四个命题中，真命题的序号是

③④

．（写出所有真命题的序号）
①若a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac²＞bc²”成立的充分不必要条件；
②当x∈（0，

π

4

）时，函数y=sinx+

1

sinx

  的最小值为2；
③命题“若|x|≥2，则x≥2或x≤-2”的否命题是“若|x|＜2，则-2＜x＜2”；
④函数f（x）=lnx+x-

3

2

在区间（1，2）上有且仅有一个零点．

Answer 1

分析：①、若c=0，则不论a，b的大小关系如何，都有ac²=bc²；
②、由基本不等式的使用原则：一正二定三相等，得到函数y=sin x+

1

sinx

 只有在sinx=1时，才取最小值；
③、命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”；
④、由于f（1）f（2）=（ln1+1-

3

2

）（ln 2+2-

3

2

）＜0，再由函数在区间（1，2）上单调，即可判定正误．

解答：解：①、由于c=0，则不论a，b的大小关系如何，都有ac²=bc²，
而若ac²＞bc²，则有a＞b，
故“a＞b”是“ac²＞bc²”成立的必要不充分条件，
故①为假命题；
②、当x∈（0，

π

4

）时，由于y=sin x+

1

sinx

≥2 当且仅当sinx=

1

sinx

即sinx=±1时，等号成立，
而x∈（0，

π

4

），则当x∈（0，

π

4

）时，函数y=sin x+

1

sinx

 取不到最小值为2，故②为假命题；
③、命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，
则命题“若|x|≥2，则x≥2或x≤-2”的否命题是“若|x|＜2，则-2＜x＜2”，故③为真命题；
④、由于f（1）f（2）=（ln1+1-

3

2

）（ln 2+2-

3

2

）=-

1

2

×(ln2+

1

2

)＜0，
则函数f（x）=ln x+x-

3

2

在区间（1，2）上存在零点，
又由函数f（x）=ln x+x-

3

2

在区间（1，2）上为增函数，
所以函数f（x）=ln x+x-

3

2

在区间（1，2）上有且仅有一个零点，故④为真命题．
故答案为：③④．

点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，同时考查了不等式的性质及函数零点存在定理，我们要对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．