Question

如图某市现有自市中心O通往正西和北偏东30°方向的两条主要公路，为了解决该市交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路．分别在通往正西和北偏东30°方向的公路上选用A、B两点，使环城公路在A、B间为直线段，要求AB路段与市中心O的距离为10km，且使A、B间的距离|AB|最小．请你确定A、B两点的最佳位置．

Answer 1

分析：如图，作OC⊥AB，令|OA|=a，|OB|=b，在三角形AOB中，由水平直线与铅直直线垂直及方位角北偏东30°求出∠AOB的度数，进而得出sin∠AOB与cos∠AOB的值，利用三角形的面积公式表示出三角形AOB的面积，再利用底边AB的长与边AB上的高乘积的一半表示出三角形AOB的面积，两面积相等表示出|AB|，记作①，利用余弦定理表示出|AB|²，将cos∠AOB的值代入并利用基本不等式变形，整理后开方得出关系式，记作②，由①代入②，两边平方并根据ab大于0，得到ab大于等于400，记作③，将③代入①得到|AB|的最小值，以及取得最小值时a=b，可得出三角形AOB为等腰三角形，且底角为30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，由OC的长为10km可得出OA的长为20km，即为OB的长为20km，即可得到A、B两点的最佳位置是距市中心O均为20km处．

解答：解：如图，作OC⊥AB，令|OA|=a，|OB|=b，
∵在△AOB中，∠AOB=90°+30°=120°，
∴S_△AOB=

1

2

|OC|•|AB|=

1

2

absin120°，
∴|AB|=

3 ab

20

①，
又由余弦定理，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab≥2ab+ab=3ab（当a=b时取等号），
即|AB|≥

3ab

②，
由①代入②，两边平方得：

3a2b2

400

≥3ab．
∵ab＞0，∴ab≥400③，
③代入①得：|AB|=

3 ab

20

≥20

3

，
∴当a=b时，|AB|取得最小值，
而a=b时，△AOB为等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴a=b=20，
则A、B两点的最佳位置是距市中心O均为20km处．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，以及等腰三角形的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．