Question

设f（x）=x²+ax，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，则满足条件的所有实数a的取值范围为

1. A.
   0＜a＜4
2. B.
   a=0
3. C.
   0＜a≤4
4. D.
   0≤a＜4

Answer 1

D
分析：根据已知中f（x）=x²+ax，我们分a=0时和a≠0时，对{{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅进行讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案．
解答：∵f（x）=x²+ax，
∴f（f（x））=f（x）²+af（x）=（x²+ax）²+a•（x²+ax）=x⁴+2ax³+（a²+a）x²+a²x
当a=0时，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}={0}≠∅
当a≠0时，{x|f（x）=0，x∈R}={0，-a}
若{x|f（f（x））=0，x∈R}={0，-a}
则f（f（-a））=0且除0，-a外f（f（x））=0无实根
即x²+ax+a=0无实根
即a²-4a＜0，即0＜a＜4
综上满足条件的所有实数a的取值范围为0≤a＜4
故选D
点评：本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中注意两个集合相等的定义，即当a≠0时，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅的等价条件为x²+ax+a=0无实根．