Question

（14分）已知函数满足对任意，且，都有．   w w w.k s 5 u.c o m

（1）求实数的取值范围；

（2）试讨论函数在区间 上的零点的个数；

（3）对于给定的实数，有一个最小的负数，使得时，都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值．

Answer 1

解析：（1）∵                      ………………1分

   ………………2分

，                                ………………3分

又∵，∴必有，∴实数的取值范围是．………………4分

（2），由（1）知：  ，所以。

由 ，知对称轴 , ………5分

①     当时，总有，<0 ，，

故时，在上有一个零点；               ………………6分

②当时， ，即时，在上有两个零点；8分

③当时，有，<0，， 故时，在上有两个零点。                                                   ………………9分

综上：当时，在上有一个零点；当时，在上有两个零点。                                                    …………10分

 （3）∵，   w w w.k s 5 u.c o m

显然，对称轴．                          

①当，即时，，且．…11分

令，解得，

此时取较大的根，即，

∵，∴．            ………………12分

②当，即时，，且．………13分

令，解得，

此时取较小的根，即，

∵，∴． 当且仅当时，取等号 w w w.k s 5 u.c o m  

∵，∴当时，取得最小值－3．………………14分