Question

命题p：1＜2^m＜a；命题q：对任意实数x不等式x²-mx+4≥0恒成立；命题r：方程（m-3）x²+4y²=4（m-3）表示双曲线．
（1）若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围；
（2）若q∨r为真命题，q∧r为假命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．

解答：解：（1）∵命题p：1＜2^m＜a；
∴当p为真，m的取值范围是：0＜m＜log₂a
∵命题q：对任意实数x不等式x²-mx+4≥0恒成立
∴当q为真，m的取值范围是：-4≤m≤4
又∵￢p是￢q的必要不充分条件
∴p是q充分不必要条件，即p是q的真子集
∴log₂a≤4，即1＜a≤16
∴1＜a≤16
（2）∵命题r：方程（m-3）x²+4y²=4（m-3）表示双曲线
∴当r为真，m的取值范围是：m＜3
又∵若q∨r为真命题，q∧r为假命题
∴r、q一真一假
①r真q假，那么m的取值范围：（-∞，-4]
②r假q真，那么m的取值范围：[3，4]
综上所述，m∈（-∞，-4]∪[3，4]

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目