Question

（2012•杨浦区一模）已知△ABC的三个顶点在抛物线Γ：x²=y上运动．
（1）求Γ的准线方程；
（2）已知点P的坐标为（2，6），F为抛物线Γ的焦点，求|AP|+|AF|的最小值，并求此时A点的坐标；
（3）若点A在坐标原点，BC边过定点N（0，1），点M在BC上，且

AM

•

BC

=0，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的方程，可得抛物线的焦点在y轴上，开口向上，故可得准线方程；
（2）利用抛物线的定义，将点到焦点距离转化为到准线的距离，利用三点共线，即可得到结论；
（3）利用向量的垂直关系，即可求M的轨迹方程．

解答：解：（1）由x²=y得抛物线的焦点在y轴上，且2p=1，所以准线为y=-

1

4

             …（3分）
（2）解：由x²=y得抛物线的焦点在y轴上，且2p=1，所以，焦点坐标为（0，

1

4

）                  …（4分）
由A作准线为y=-

1

4

的垂线，垂足为Q，当且仅当三点P，A，Q共线时，|AP|+|AF|取得最小，最小值为6+

1

4

=

25

4

，…（7分）
此时A点的坐标为（2，4）…（9分）
（3）设点M的坐标为（x，y），BC边所在的方程过定点N（0，1），…（10分）
∴

AM

=(x，y)，

MN

=(-x，1-y)
∵

AM

•

BC

=0
∴

AM

•

MN

=0，
所以，-x×x+y（1-y）=0，即y²+x²-y=0（x≠0）…（16分）

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义与性质，考查轨迹方程的求解，定位定量是关键．