Question

a∈R，解关于x的不等式x-

1

x

≥a（x-1）．

Answer 1

分析：通过方程的根的大小对a的讨论，然后求出表达式的解集．

解答：解：原不等式可转化为

(x-1)[(1-a)x+1]

x

≥0（*）．
（1）当a=1时，（*）式为

x-1

x

≥0，
解得x＜0或x≥1．
（2）当a≠1时，（*）可式为

(1-a)(x-1)(x+ 1 1-a )

x

≥0
①若a＜1，则a-1＜0，

1

a-1

＜0，
解得

1

a-1

≤x＜0，或x≥1；
②若1＜a≤2，则1-a＜0，

1

a-1

≥1，
解得x＜0，或1≤x≤

1

a-1

；
③若a＞2，则a-1＞1，0＜

1

a-1

＜1，1-a＜0，
解得x＜0，或

1

a-1

≤x≤1；
综上，当a=1时，不等式解集为{x|x＜0或x≥1}
当a＜1时，不等式解集为{x|

1

a-1

≤x＜0，或x≥1}
当1＜a≤2时，不等式解集为{x|x＜0，或1≤x≤

1

a-1

}
当a＞2时，不等式解集为{x|x＜0，或

1

a-1

≤x≤1}．

点评：本题考查不等式的解集的求法，分类讨论思想的应用，考查计算能力．