Question

已知以原点为对称中心、F（2，0）为右焦点的椭圆C过P（2，），直线l：y=kx+m（k≠0）交椭圆C于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）？若存在求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，由给出的椭圆焦点和椭圆过点P（2，），联立列出关于a，b的方程组，求解后则椭圆方程可求；
（Ⅱ）存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3），由给出的椭圆方程和直线AB方程联立，化为关于x的方程后有根与系数关系写出AB中点坐标，由AB的中点和Q（0，3）的连线和直线AB垂直得到直线AB的斜率和截距的关系，代入判别时候不满足判别式大于0，说明假设不成立，得到结论．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），
∵c=2，且椭圆过点P（2，），所以，解得a²=8，b²=4，
所以椭圆C的方程为；
（Ⅱ）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点Q（0，3），
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中点为N（x，y），
由，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-8=0，
则△=16m²k²-4（1+2k²）（2m²-8）=64k²-8m²+32＞0，所以8k²-m²+4＞0，
又，∴，，
∵线段AB的垂直平分线过点Q（0，3），∴k_NQ•k=-1，即，∴-m=3+6k²，
代入△＞0整理，得36k⁴+28k²+5＜0，此式显然不成立．
∴不存在满足题意的k的值．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了设而不求的解题方法，属中档题．