Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，D₁C⊥平面ABCD，AB=1，BC=D₁C=2，E为A₁C的中点．
（1）求证：直线C₁C∥平面BDE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）先根据题意结合题中条件找出已知直线的中位线即证明线线平行，再说明其中一条直线在平面内，则可证明线面平行．
（2）由其中一个平面内一点作另一个平面的垂线，再由垂足向交线作垂线，进而连线得到二面角的平面角，然后证明这个角就是二面角的平面角，最后利用解三角形的知识求出二面角即可．

解答：解：（1）连接AC，与BD交于点F，连接EF，
在矩形ABCD中，F为AC的中点，又E为A₁C的中点，
∴A₁A∥EF，
又在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，C₁C∥A₁A，
∴C₁C∥EF，又EF?平面BDE，C₁C?平面BDE，
∴直线C₁C∥平面BDE．
（2）连接A₁B，BD₁，∵在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁与BC平行且相等，

∴四边形A₁BCD₁是平行四边形，则A₁C与BD₁互相平分，
∴A₁C的中点E也是BD₁的中点．取BC的中点F，连接EF，则EF∥D₁C，且EF=

1

2

D1C=1，
又D₁C⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，过点F作FG垂直BD于点G，连接EG．
根据三垂线定理有EG⊥BD，故∠EGF是二面角E-BD-C的平面角
在Rt△BCD中，sin∠DBC=

CD

BC

=

1

12+22

=

1

5

，
∴在Rt△FGB中，FG=FB•sin∠DBC=

1

5

，
∴在Rt△EFG中，tan∠EGF=

EF

FG

=

1

1 5

=

5

．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，正确确定几何体中线面垂直关系与线面平行关系，进而解决问题．