Question

13．如图，M，N分别是?ABCD的边AD，CD的中点，点E，F是对角线AC的三等分点．求证：B，E，M三点共线，且B，F，N三点共线．

Answer 1

分析 ?ABCD中，用向量$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}$表示出$\overrightarrow{BM}$、$\overrightarrow{BE}$与$\overrightarrow{EM}$，证明$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{EM}$=$\overrightarrow{BE}$，即证B，E，M三点共线，同理可证B，F，N三点共线．

解答 解：?ABCD中，M是边AD的中点，E，F是对角线AC的三等分点，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）；
∴$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）-$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{EM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{EM}$=（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$）$\overrightarrow{AD}$-（$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BE}$，
∴B，E，M三点共线，
同理可证：B，F，N三点共线．

点评 本题考查了用平面向量证明三点共线的应用问题，解题时应利用平面向量共线去证明，是基础题目．