Question

已知复数z=（a²-4sin²θ）+2（cosθ+1）i，其中a∈R⁺，θ∈（0，π），i为虚数单位，且z是方程x²+2x+2=0的一个根．
（1）求θ与a的值；
（2）若w=x+yi（x，y为实数），求满足|w-1|≤|

. z

z+i

|的点（x，y）表示的图形的面积．

Answer 1

分析：（1）利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系即可得出；
（2）利用复数的运算法则进行化简和复数的模的计算公式及其几何意义、圆的标准方程即可得出．

解答：解：（1）∵z是方程x²+2x+2=0的一个根，∴

.

z

也是此方程的一个根，
∴z+

.

z

=-2，z•

.

z

=2，
∴

2(a2-4sin2θ)=-2 (a2-4sin2θ)2+4(cosθ+1)2=2

，又a∈R⁺，θ∈（0，π），解得

θ= 2π 3 a= 2

．
即θ=

2π

3

，a=

2

．
（2）由（1）可得：z=-1+i．
∵|

. z

z+i

|=|

-1-i

-1

|=|1+i|=

2

．
∴|w-1|≤

2

，
∴|（x-1）+yi|≤

2

，∴

(x-1)2+y2

≤

2

，即（x-1）²+y²≤2．
∴点（x，y）在以（1，0）为圆心，

2

为半径的圆上．
∴点（x，y）表示的图形的面积=π(

2

)2=2π．

点评：熟练掌握实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系、复数的运算法则进行化简和复数的模的计算公式及其几何意义、圆的标准方程是解题的关键．