Question

已知双曲线C的离心率为

2

，且过点（4，-

10

）
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线C上，求证：MF₁⊥MF₂；
（3）求△F₁MF₂的面积．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线C的离心率为

2

，得出双曲线为等轴双曲线，从而设双曲线C的方程为nx²-ny²=1利用双曲线C过点（4，-

10

）即可求出n的值，最后写出双曲线的方程即可．
（2）先根据点M（3，m）在双曲线C上求出m值，由双曲线的对称性知，我们只需证明点M（3，

3

） 满足MF₁⊥MF₂即可，利用向量的数量积等于0即可证得MF₁⊥MF₂；
（3）利用（2）中的数据结合三角形的面积公式即可求得△F₁MF₂的面积．

解答：解：（1）∵双曲线C的离心率为

2

，
∴双曲线为等轴双曲线
∴设双曲线C的方程为nx²-ny²=1
∵双曲线C过点（4，-

10

）
∴16n-10n=1∴n=

1

6

∴

x2

6

-

y2

6

=1即为所求．
（2）∵点M（3，m）在双曲线C上
∴m=±

3

由双曲线的对称性知，我们只需证明点M（3，

3

） 满足MF₁⊥MF₂即可
∴

MF1

=(2

3

-3，-

3

），

MF2

=(-2

3

-3，-

3

）
∴

MF1

• 

MF2

=(2

3

-3)(-2

3

-3)+(-

3

)(-

3

)=0，
∴MF₁⊥MF₂；
（3）S△F1MF2=

1

2

|

MF1

||

MF2

|
=

1

2

(2 3 -3)2+(- 3 )2

•

(-2 3 -3)2+(- 3 )2

=

1

2

(24-12 3 )(24+12 3 )

=6．

点评：本小题主要考查双曲线的简单性质、向量垂直的应用、三角形的面积等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．