Question

（2013•闸北区二模）设y=f（x）为R上的奇函数，y=g（x）为R上的偶函数，且g（x）=f（x+1），g（0）=2．则f（x）=

2sin

π

2

x

．（只需写出一个满足条件的函数解析式即可）

Answer 1

分析：根据f（x）、g（x）的奇偶性可推出f（x）的周期，由f（x）的周期性、奇偶性即可找到满足条件的一个函数．

解答：解：因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
所以f（x+1）=g（x）=g（-x）=f（-x+1）=-f（x-1），
所以f（x+1）=-f（x-1），
令t=x+1，则x=t-1，所以f（t）=-f（t-2）=f（t-4），
所以f（x）是一个周期为4的周期函数，同时为奇函数，
而f(x)=2sin

π

2

x满足条件，
故答案为：2sin

π

2

x．

点评：本题考查函数的奇偶性、周期性及函数解析式的求解，属中档题，解决本题的关键是运用函数的奇偶性推出函数f（x）的周期．