Question

设函数f(θ)=sinθ+cosθ,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.
(1)若点P的坐标为(,),求f(θ)的值;
(2)若点P(x,y)为平面区域Ω: 上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.

Answer 1

(1)2
(2)θ=时,f(θ)取得最大值,且最大值等于2
θ=0时,f(θ)取得最小值,且最小值等于1

解析解:(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得

于是f(θ)=sinθ+cosθ=×+=2.
(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)如图所示,其中A(1,0),B(1,1),C(0,1).
于是0≤θ≤.

又f(θ)=sinθ+cosθ=2sin(θ+),
且≤θ+≤,故当θ+=,
即θ=时,f(θ)取得最大值,且最大值等于2;
当θ+=,
即θ=0时,f(θ)取得最小值,且最小值等于1.