Question

10．函数f（x）=$\sqrt{4{x}^{2}+4x+2}$+$\sqrt{4{x}^{2}-12x+13}$的值域是（　　）

• A． [3，+∞）
• B． [5，+∞）
• C． [$\sqrt{2}$+$\sqrt{13}$，+∞）
• D． [6，+∞）

Answer 1

分析 化简f（x）=$\sqrt{4{x}^{2}+4x+2}$+$\sqrt{4{x}^{2}-12x+13}$=$\sqrt{（2x+1）^{2}+1}$+$\sqrt{（2x-3）^{2}+4}$，而$\sqrt{（2x+1）^{2}+1}$的几何意义是点（2x，0）与点（-1，1）的距离，$\sqrt{（2x-3）^{2}+4}$的几何意义是点（2x，0）与点（3，-2）的距离，从而解得．

解答 解：f（x）=$\sqrt{4{x}^{2}+4x+2}$+$\sqrt{4{x}^{2}-12x+13}$
=$\sqrt{（2x+1）^{2}+1}$+$\sqrt{（2x-3）^{2}+4}$，
$\sqrt{（2x+1）^{2}+1}$的几何意义是点（2x，0）与点（-1，1）的距离，
$\sqrt{（2x-3）^{2}+4}$的几何意义是点（2x，0）与点（3，-2）的距离，
而$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
故$\sqrt{（2x+1）^{2}+1}$+$\sqrt{（2x-3）^{2}+4}$≥5，
故函数f（x）=$\sqrt{4{x}^{2}+4x+2}$+$\sqrt{4{x}^{2}-12x+13}$的值域是[5，+∞），
故选：B．

点评 本题考查了学生的化简能力及几何意义的应用，同时考查了函数的值域的求法．