Question

如图，平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=．
（Ⅰ）求证：AC⊥BF；
（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

解（Ⅰ）∵AB=1，AD=2，∠ADC=60°，
∴由余弦定理，得AC²=CD²+AD²+CD•ADcos60°=3
于是 AD²=4=CD²+AC²，∴AC⊥CD，
∵AB∥CD，∴AC⊥AB…（2分）
又∵四边形ACEF是矩形，∴AC⊥AF
∵AB∩AF=A，AB、AF⊆平面ABF
∴AC⊥平面ABF
又∵BF⊆平面ABF，∴AC⊥BF；（6分）
（Ⅱ）令多面体ABCDEF的体积为V，
∴V=V_D-ACEF+V_B-ACEF=2V_D-ACEF …（8分）
又∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，DC⊥AC，
∴DC⊥平面ACEF，可得DC为四棱锥D-ACEF的高，…（10分）
∵S_矩形ACEF=×=，∴V_D-ACEF=××1=
∴V=2V_D-ACEF=，即多面体ABCDEF的体积为．…（12分）
分析：（I）在△ACD中利用余弦定理，计算出AD²=4=CD²+AC²，所以AC⊥CD，结合AB、CD互相平行，得AC⊥AB，再结合AC⊥AF，得到AC⊥平面ABF，从而有AC⊥BF；
（II）根据题意，可得多面体ABCDEF的体积是四棱锥D-ACEF体积的2倍，由面面垂直的性质可得DC为四棱锥D-ACEF的高，根据锥体体积公式算出四棱锥D-ACEF体积，即可得到多面体ABCDEF的体积．
点评：本题给出矩形的一边是平行四边形的一条对角线，矩形所在平面与平行四边形所在平面互相垂直，求证线线垂直并求多面体的体积．考查了空间几何体的线、面位置关系用相关量的运算，属于中等题．