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已知向量
m
=(
3
sin
x
4
,1)
n
=(cos
x
4
,cos2
x
4
)
,函数f(x)=
m
.
n

(Ⅰ)若f(x)=1,求cos(
3
-x)
的值;
(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acosC+
1
2
c=b
,求f(2B)的取值范围.
分析:(I)利用向量的数量积公式求出f(x),利用二倍角公式及两角和、差公式化简f(x);利用诱导公式将cos(
3
-x)
sin(
x
2
+
x
6
)
表示,求出值.
(II)利用三角形的余弦定理将已知等式中的余弦用边表示,再次利用余弦定理求出角A,利用三角形的内角和为π及B,C都是锐角求出B的范围,求出f(2B)的范围.
解答:解:f(x)=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos2
x
4
=
3
2
sin
x
2
+
1
2
cos
x
2
+
1
2
=sin(
x
2
+
x
6
)+
1
2

(Ⅰ)若f(x)=1,可得sin(
x
2
+
x
6
)=
1
2

cos(
3
-x)=2cos2(
π
3
-
x
2
)-1=2sin2(
x
2
+
π
6
)-1=-  
1
2

(Ⅱ)由acosC+
1
2
c=b
可得a
a2+b2-c2
2ab
+
1
2
c=b
即b2+c2-a2=bc
所以cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
A=
π
3
B+C=
3

又B,C均为锐角∴B∈(
π
6
π
2
)

sin(B+
π
6
)∈(
3
2
,1]

f(2B)=sin(B+
π
6
)+
1
2
的取值范围是(
3
+1
2
3
2
]
点评:本题考查向量的数量积公式、三角形的二倍角公式、和,差角公式、诱导公式;三角形的余弦定理.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(
3
sinx,cosx),
n
=(cosx,cosx),
p
=(2
3
,1)

(1)若
m
n
,求sinx•cosx的值;
(2)设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角B的取值集合为M,当x∈M时,求函数f(x)=
m
n
的值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(
3
sinx-cosx,  1)
n
=(cosx,  
1
2
)
,若f(x)=
m
n

(1) 求函数f(x)的最小正周期;
(2) 已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且c=3, f(
C
2
+
π
12
)=
3
2
(C为锐角),2sinA=sinB,求C、a、b的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(
3
sinx+cosx,1),
n
=(
1
2
f(x),cosx),
m
n

(I)求f(x)的单调增区间及在[-
π
6
π
4
]
内的值域;
(II)已知A为△ABC的内角,若f(
A
2
)=1+
3
,a=1,b=
2
,求△ABC的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(
3
sinx+cosx,1),
n
=(cosx,-f(x))
,且
m
n

(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x∈[0, 
π
2
]
时,函数g(x)=a[f(x)-
1
2
]+b
的最大值为3,最小值为0,试求a、b的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•安徽模拟)已知向量
m
=(
3
sinx+cosx,1),
n
=(cosx,-f(x)),
m
n

(1)求f(x)的单调区间;
(2)已知A为△ABC的内角,若f(
A
2
)=
1
2
+
3
2
,a=1,b=
2
,求△ABC的面积.

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