Question

已知椭圆（a＞b＞0）经过点M（1，），且其右焦点与抛物线的焦点F重合．
①求椭圆C₁的方程；
②直线l经过点F与椭圆C₁相交于A、B两点，与抛物线C₂相交于C、D两点．求的最大值．

Answer 1

解：如图，
①解法1：由抛物线方程为y²=4x，得其焦点F（1，0），
∵椭圆右焦点与抛物线焦点重合，∴c=1．
故a²-b²=c²=1 ①
又椭圆C₁经过点，∴ ②
由①②消去a²并整理，得，4b⁴-9b²-9=0，解得：b²=3，或（舍去），
从而a²=b²+1=4． 故椭圆的方程为．
解法2：由抛物线方程，得焦点F（1，0），
∴c=1．
∴椭圆C₁的左右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
∵椭圆（a＞b＞0）经过点M（1，），
∴=4．
∴a=2，则a²=4，b²=a²-c²=4-1=3．
故椭圆的方程为．
②当直线l垂直于x轴时，
则A（1，），B（1，），C（1，2），D（1，-2）．∴．
当直线l与x轴不垂直，设其斜率为k（k≠0），则直线l的方程为：y=k（x-1）．
联立，得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
△=（-8k²）²-4×（3+4k²）×（-12）=64k⁴+192k²+144＞0．
∴方程有两个不等的实数根．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则，．
所以，=
=
=．
由，得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
△=[-（2k²+4）]²-4k⁴=16k²+16＞0，∴方程有两个不等的实数根．设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
∵k≠0，∴，
由抛物线的定义，得．
∴=．
综上，当直线l垂直于x轴时，取得最大值．
分析：①首先求出抛物线的焦点坐标，则c可求，结合椭圆的隐含条件及点M（1，）在椭圆上，进一步列式可求椭圆方程；
②分直线l的斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，可以直接求出A，B，C，D四点的坐标，则的值可求，当斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程及抛物线方程联立后，运用弦长公式把用直线的斜率表示，然后利用基本不等式求其最值．
点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想及分类讨论思想，考查了弦长公式，解答此类问题的关键是，常常采用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线交点的坐标，解答时不求坐标，而是运用根与系数关系求出两个点的横坐标的和与积，然后结合已知条件整体代入求解问题，此题是难题．