Question

（本小题满分13分）已知数列，满足，且当（）时，．令．

（Ⅰ）写出的所有可能取值；

（Ⅱ）求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的所有可能取值为：，，，，．

（Ⅱ）的最大值为．

【解析】

据及，得出数列中有0,1.，-1，还可能有2，不重不漏，列出；

（2）较难，找到设，则或，连加得 ．                         

利用，得，再根据和的公式化简求解。 

解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：

（1）此时；

（2）此时；

（3）此时；

（4）此时；

（5）此时；

（6）此时.

所以，的所有可能取值为：，，，，．         .………5分

（Ⅱ）由，可设，则或（，），

    ，

    ，

     …

    ，

所以．                               ………7分

因为，所以，且为奇数，是由个1和个构成的数列．

所以

      ．

则当的前项取，后项取时最大，

此时．.……10分

证明如下：

假设的前项中恰有项取，则

的后项中恰有项取，其中，，，．

所以

 

．

    所以的最大值为．                              .………13分