Question

1．某小区内有一条形状如图的沟渠，沟沿是两条平行线段，沟渠宽AB为20厘米，沟渠的直截面ABO为一段抛物线，抛物线顶点为O，对称轴与地面垂直，沟渠深20厘米，沟渠中水深10厘米．
（1）求水面宽为多少厘米；
（2）若要把这条沟渠改挖（不准填土）成直截面为等腰梯形的沟渠，是沟渠的底面与地面平行，则改挖后的沟渠底部宽为多少厘米时，所挖土最少．

Answer 1

分析 （1）如图所示，以O为坐标原点，建立直角坐标系．设抛物线方程为：y=ax²（a＞0）．把（10，20）代入解得a，把y=10代入抛物线方程可得x．
（2）为使所挖土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，设切点为P$（t，\frac{1}{5}{t}^{2}）$（0＜t≤10）是抛物线OB上的一点，设经过点P的切线CD的方程为：y-$\frac{1}{5}{t}^{2}$=k（x-t），与抛物线方程联立可得：x²-5kx+5kt-t²=0，由△=0，解得k=$\frac{2}{5}$t，kd 切线方程为：$y=\frac{2}{5}tx-\frac{1}{5}{t}^{2}$，可得C$（\frac{t}{2}，0）$，D$（\frac{t}{2}+\frac{50}{t}，20）$．kd 梯形OCDE的面积S=10（t+$\frac{50}{t}$），即可得出．

解答 解：（1）如图所示，以O为坐标原点，建立直角坐标系．
设抛物线方程为：y=ax²（a＞0）．
把（10，20）代入可得：20=a×10²，解得a=$\frac{1}{5}$，可得$y=\frac{1}{5}{x}^{2}$．
把y=10代入可得x²=50，x=$±5\sqrt{2}$，
∴水面宽为10$\sqrt{2}$厘米．
（2）为使所挖土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，设切点为P$（t，\frac{1}{5}{t}^{2}）$（0＜t≤10）是抛物线OB上的一点，设经过点P的切线CD的方程为：y-$\frac{1}{5}{t}^{2}$=k（x-t），与抛物线方程联立可得：
x²-5kx+5kt-t²=0，由△=0，解得k=$\frac{2}{5}$t，
∴切线方程为：$y=\frac{2}{5}tx-\frac{1}{5}{t}^{2}$，可得C$（\frac{t}{2}，0）$，D$（\frac{t}{2}+\frac{50}{t}，20）$．梯形OCDE的面积S=10（t+$\frac{50}{t}$）≥10×$2\sqrt{t•\frac{50}{t}}$=100$\sqrt{2}$，当且仅当t=5$\sqrt{2}$时取等号．此时OC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
即沟渠底部宽为5$\sqrt{2}$厘米时，所挖土最少．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、切线方程、等腰梯形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．