Question

（本大题共2个小题，任选一题作答，若做两题，则按所做的第（1）题给分，共5分）
（1）曲线ρ=2cosθ关于直线θ=

π

4

对称的曲线的极坐标方程为

ρ=2sinθ．

（2）（不等式选讲）在区间[t，t+1]上满足不等式|x³-3x+1|≥1的解有且只有一个，则实数t的取值范围为

（0，

3

-1）

．

Answer 1

分析：（1）先将原极坐标方程ρ=2cosθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再结合曲线关于直线的对称性，利用直角坐标方程解决问题．
（2）先在R上求解不等式|x³-3x+1|≥1，然后根据不等式的解集确定“在区间[t，t+1]上满足不等式|x³-3x+1|≥1的解有且只有一个”t的范围．

解答：解：（1）解：将原极坐标方程ρ=2cosθ，化为：
ρ2=2ρcosθ，
化成直角坐标方程为：x²+y²-2x=0，
它关于直线y=x（即θ=

π

4

）对称的圆的方程是
x²+y²-2y=0，其极坐标方程为：ρ=2sinθ
故答案为：ρ=2sinθ．
（2）由不等式|x³-3x+1|≥1，得出x³-3x+1≥1①或x³-3x+1≤-1②，
解①得-

3

≤x≤0或x≥

3

解②得解②得x≤-2或x=1
∴不等式|x³-3x+1|≥1的解集为{x|x≤-2或-

3

≤x≤0或x≥

3

 或x=1}
∵在区间[t，t+1]上满足不等式|x³-3x+1|≥1的解有且只有一个
∴0＜t＜

3

-1
故答案为：（0，

3

-1）

点评：（1）本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得
（2）本题考查绝对值不等式的解法，过程中应用了因式分解求解不等式，增加了题目的难度．