[题目]2020年初全球爆发了新冠肺炎疫情.为了防控疫情.某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品.该产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x有关.根据已经生产的统计数据.绘制了如下的散点图.观察散点图.两个变量不具有线性相关关系.现考虑用函数对两个变量的关系进行拟合.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】2020年初全球爆发了新冠肺炎疫情，为了防控疫情，某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品，该产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，根据已经生产的统计数据，绘制了如下的散点图.

观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数对两个变量的关系进行拟合.参考数据（其中）：


0.41	0.1681	1.492	306	20858.44	173.8	50.39

（1）求y关于x的回归方程，并求y关于u的相关系数（精确到0.01）.

（2）该产品采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为80元，则签订9千件订单的概率为0.7，签订10千件订单的概率为0.3；若单价定为70元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为30元，根据（1）的结果，要想获得更高利润，产品单价应选择80元还是70元，请说明理由.

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数.

【答案】（1），0.96；（2）单价应选择80元，理由见解析

【解析】

（1）令，则可转化为，求得，，，可求得回归方程和线性相关系数.

（2）求出产品单价为80元，记企业利润为X（元），企业利润X（元）的分布列和利润的期望，产品单价为70元，记企业利润为Y（元），企业利润Y（元）的分布列和利润的期望，比较可得出选择.

（1）令，则可转化为，

因为，

所以，

则，

所以，

因此y关于x的回归方程为；

y与u的相关系数为：

，

（2）法一：（i）若产品单价为80元，记企业利润为X（元），

订单为9千件时，每件产品的成本为元，

企业的利润为（元），

订单为10千件时，每件产品的成本为元，

企业的利润为（元），

企业利润X（元）的分布列为

X	260000	300000
P	0.7	0.3

所以（元）；

（ii）若产品单价为70元，记企业利润为Y（元），

单为10千件时，每件产品的成本为元，

企业的利润为（元），

订单为11千件时，每件产品的成本为元，

企业的利润为（元），

企业利润Y（元）的分布列为

Y	200000	230000
P	0.3	0.7

所以（元），

又∵，故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元.

法二：（i）若产品单价为80元，记企业的产量为X（千件），其分布列为

Y	9	10
P	0.7	0.3

所以

企业的利润为：

（ii）若产品单价为70元，记企业的产量为Y（千件），其分布列为

X	10	11
P	0.3	0.7

所以

企业的利润为：

又∵,

故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元.

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