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    【题目】2020年初全球爆发了新冠肺炎疫情，为了防控疫情，某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品，该产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，根据已经生产的统计数据，绘制了如下的散点图.

    观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数对两个变量的关系进行拟合.参考数据（其中）：

    0.41

    0.1681

    1.492

    306

    20858.44

    173.8

    50.39

    （1）求y关于x的回归方程，并求y关于u的相关系数（精确到0.01）.

    （2）该产品采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为80元，则签订9千件订单的概率为0.7，签订10千件订单的概率为0.3；若单价定为70元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为30元，根据（1）的结果，要想获得更高利润，产品单价应选择80元还是70元，请说明理由.

    参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数.

    【答案】（1），0.96；（2）单价应选择80元，理由见解析

    【解析】

    （1）令，则可转化为，求得，，，可求得回归方程和线性相关系数.

    （2）求出产品单价为80元，记企业利润为X（元），企业利润X（元）的分布列和利润的期望，产品单价为70元，记企业利润为Y（元），企业利润Y（元）的分布列和利润的期望，比较可得出选择.

    （1）令，则可转化为，

    因为，

    所以，

    则，

    所以，

    因此y关于x的回归方程为；

    y与u的相关系数为：

    ，

    （2）法一：（i）若产品单价为80元，记企业利润为X（元），

    订单为9千件时，每件产品的成本为元，

    企业的利润为（元），

    订单为10千件时，每件产品的成本为元，

    企业的利润为（元），

    企业利润X（元）的分布列为

    X

    260000

    300000

    P

    0.7

    0.3

    所以（元）；

    （ii）若产品单价为70元，记企业利润为Y（元），

    单为10千件时，每件产品的成本为元，

    企业的利润为（元），

    订单为11千件时，每件产品的成本为元，

    企业的利润为（元），

    企业利润Y（元）的分布列为

    Y

    200000

    230000

    P

    0.3

    0.7

    所以（元），

    又∵，故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元.

    法二：（i）若产品单价为80元，记企业的产量为X（千件），其分布列为

    Y

    9

    10

    P

    0.7

    0.3

    所以

    企业的利润为：

    （ii）若产品单价为70元，记企业的产量为Y（千件），其分布列为

    X

    10

    11

    P

    0.3

    0.7

    所以

    企业的利润为：

    又∵,

    故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元.

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    【题目】随着国内疫情形势好转，暂停的中国正在重启，为了尽快提升经济、吸引顾客，哈西某商场举办购物抽奖活动，凡当日购物满1000元的顾客，可参加抽奖，规则如下：盒中有大小质地均相同5个球，其中2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，若在第一次和第二次均摸到红球则获得特等奖，否则获得纪念奖，则顾客获得特等奖的概率是_________________.

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    【题目】已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆过点.

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且与圆没有公共点，设为椭圆上一点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.

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    【题目】某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，对近个月的月销售量和月销售单价数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：

    月销售单价（元/件）

    月销售量（万件）

    （1）若用线性回归模型拟合与之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：，和，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；

    （2）若用模型拟合与之间的关系，可得回归方程为，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数分别为和，请用说明哪个回归模型的拟合效果更好；

    （3）已知该商品的月销售额为（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到）

    参考数据：.

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    【题目】已知的内角，，所对的边分别为，，，，且函数的部分图象如图所示：

    （1）求的大小；

    （2）若，点为线段上的点，且，求面积的最大值.

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    【题目】如图，在三棱柱中，平面，为的中点，交于点，，.

    （1）证明：平面；

    （2）若，求二面角的余弦值.

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    【题目】正方体棱长为，点为边的中点，动点在正方体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为（ ）

    A.B.C.D.

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    【题目】已知函数.

    （1）当时，求曲线在处的切线方程；

    （2）当时，讨论函数的单调性；

    （3）当时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证：.

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