Question

（重庆卷理19）如题（19）图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：

（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）在答（19）图1中，因，故BE∥BC.又因B＝90°，从而AD⊥DE.

在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，从而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.

下求DB之长.在答（19）图1中，由，得

又已知DE=3,从而

     因

（Ⅱ）在第（19）图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，

AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-BC-B的平面

角.在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,

因此从而在Rt△DFE中，DE=3,

在

因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D点为坐标原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，4），，E（0，3，0）.

过D作DF⊥CE,交CE的延长线

于F，连接AF.

设从而   ，有

         ①

   又由       ②

   联立①、②，解得

   因为,故,又因,所以为所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以

   因此所求二面角A-EC-B的大小为