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本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分10分.
已知a为实数,f(x)=a-
2
2x+1
(x∈R)

(1)求证:对于任意实数a,y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(2)当f(x)是奇函数时,若方程f-1(x)=log2(x+t)总有实数根,求实数t的取值范围.
(1)∵f(x)=a-
2
2x+1
(x∈R)

∴f(x)的导数为f'(x)=-
-2×2xln2
(2x+1)2
=
2x+1ln2
(2x+1)2
>0在(-∞,+∞)上恒成立
∴对于任意实数a,y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(2)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=a-
2
20+1
=0
,可得a=1.
f(x)=1-
2
2x+1
=
1-2x
2x+1

令y=
1-2x
2x+1
,可得2x=
1+y
1-y
,x=log2
1+y
1-y
,(-1<y<1)
∴函数f(x)的反函数为:f-1(x)=log2
1+x
1-x
(-1<x<1)

log2
1+x
1-x
=log2(x+t)
1+x
1-x
=x+t,即-1+
2
1-x
=x+t,
t=(1-x)+
2
1-x
-2≥2
2
-2

当且仅当1-x=
2
1-x
,即x=1-
2
时等号成立,
所以,t的取值范围是[2
2
-2,+∞)
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(x∈R)

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