Question

设A、B是椭圆3x²＋y²＝λ上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．

(Ⅰ)确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；

(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解法1：依题意，可设直线AB的方程为整理， 　　得　① 　　设①的两个不同的根， 　　　② 　　是线段AB的中点， 　　得 　　解得＝－1，代入②得，＞12，即的取值范围是(12，＋)． 　　于是，直线AB的方程为 　　解法2：设 　　 　　依题意， 　　 　　(Ⅱ)解法1：代入椭圆方程， 　　整理得　③ 　　③的两根， 　　 　　于是由弦长公式可得　④ 　　将直线AB的方程　⑤ 　　同理可得　⑥ 　　 　　假设在在＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心．点M到直线AB的距离为　⑦ 　　于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 　　 　　故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上． 　　(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得： 　　A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角 　　　⑧ 　　由⑥式知，⑧式左边＝ 　　由④和⑦知，⑧式右边＝ 　　 　　∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆 　　解法2：由(Ⅱ)解法1及． 　　代入椭圆方程， 　　整理得③解得． 　　将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得 　　⑤解得． 　　不妨设 　　∴ 　　 　　计算可得，∴A在以CD为直径的圆上． 　　又点A与B关于CD对称，∴A、B、C、D四点共圆． 　　(注：也可用勾股定理证明AC⊥AD)