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通常用a、b、c分别表示△ABC的三个内角A,B,C所对边的边长,R表示△ABC的外接圆半径.
(1)如图,在以O为圆心、直径为8的⊙O中,BC和BA是⊙O的弦,其中BC=4,∠ABC=45°,求弦AB的长;
(2)在△ABC中,若∠C是钝角,求证:a2+b2<4R2
分析:(1)利用正弦定理求出A,通过两角和的正弦函数,求出C,然后求弦AB的长;
(2)法一;利用余弦定理推出a2+b2<c2,利用正弦定理推出a2+b2<4R2
法二:利用正弦定理求出A,通过余弦定理求出C,然后证明a2+b2<4R2
解答:解 (1)△ABC的外接圆半径为4,在△ABC中,
sinA=
BC
2R
=
4
8
=
1
2
,∴A=30°(A=150°不合题意)(3分)
∴sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB)=
1
2
×
2
2
+
3
2
×
2
2

=
6
+
2
4
(5分)
∴AB=2RsinC=8×
6
+
2
4
=2(
6
+
2)
(6分)
(2)证明:法1:由余弦定理得cosC=
a2+b2-c2
2ab
,∵C为钝角∴cosC<0,∴a2+b2<c2(9分)
又由正弦定理得c=2RsinC<2R,∴c2<4R2,∴a2+b2<4R2(12分)
法2:∵sinA=
a
2R
,sinB=
b
2R
,由于∠C是钝角,∠A、∠B都是锐角,得cosA=
1
2R
4R2-a2
,cosB=
1
2R
4R2-b2
,(8分)
cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=
1
4R2
(ab-
4R2-a2
4R2-b2
)<0
,(10分)
∴a2b2<(4R2-a2)(4R2-b2),∴16R4-4R2(a2+b2)>0,即a2+b2<4R2.( 12分)
点评:本题考查正弦定理与余弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力.
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科目:高中数学 来源: 题型:044

(2007上海春,20)通常用abc分别表示△ABC的三个内角ABC所对边的边长,R表示△ABC的外接圆半径.

(1)如图所示,在以O为圆心、半径为2的⊙O中,BCBA是圆的弦,其中BC=2,∠ABC=45°,求弦AB的长;

(2)在△ABC中,若∠C是钝角,求证:

(3)给定三个正实数abR,其中ba.问:abR满足怎样的关系时,以ab为边长,R为外接圆半径的△ABC不存在、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)?在△ABC存在的情况下,用abR表示c

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