Question

椭圆C:的两个焦点为F₁,F₂,点P在椭圆C上，且,

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于A,B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.

Answer 1

解法一：

(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.

在Rt△PF₁F₂中，故椭圆的半焦距c=,

从而b²=a²－c²=4,

  所以椭圆C的方程为＝1.

(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）、（x₂,y₂）.

   已知圆的方程为（x+2）²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

   从而可设直线l的方程为

   y=k(x+2)+1,

   代入椭圆C的方程得

  （4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27=0.

   因为A，B关于点M对称.

   所以

   解得，

   所以直线l的方程为

   即8x-9y+25=0.

   (经检验，所求直线方程符合题意)

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

   设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由题意x₁x₂且

                                                                                           ①

                                                                                          ②

由①－②得

                            ③

因为A、B关于点M对称，

所以x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,

代入③得＝，

即直线l的斜率为，

所以直线l的方程为y－1＝（x+2），

即8x－9y+25=0.

(经检验，所求直线方程符合题意.)