Question

设A，B两城相距100km，在两城市之间距A城xkm处的D处建一个发电厂给A，B两城市供电．为了城市环保，发电厂与城市的距离不得小于40km，已知供电费用（元）与供电距离（km）的平方和供电量（亿度）之积成正比，比例系数λ=0.9．若A城的供电量为20亿度/月，B城供电量为10亿度/月．
（1）将月供电总费用y（元）表示成x（km）的函数，并求其定义域；
（2）发电厂建在距A城多远处，才能使供电费用最少？并求出供电费用的最小值．

Answer 1

解：（1）∵发电厂与城市的距离不得小于40km，又∵A，B两城相距100km，
∴x的取值范围为40≤x≤60；
∵供电费用（元）与供电距离（km）的平方和供电量（亿度）之积成正比，比例系数λ=0.9，
又∵A城的供电量为20亿度/月，B城供电量为10亿度/月
∴y=0.9×20×x²+0.9×10×（100-x）²
化简得：y=27x²-1800x+90000（40≤x≤60）；
（2）由y=27x²-1800x+90000=27+60000．
因为对称轴x=不在定义域内
则二次函数在[40，60]上单调递增
所以当x=40米时，y最小．
答：故当发电站建在距A城40千米时，才能使供电总费用最小，最小值为61200元．
分析：（1）由已知中发电厂与城市的距离不得小于40km，A、B两座城市相距100km，我们易求出求x的范围，由已知中供电费用与“供电距离的平方与供电量之积”成正比，比例系数k=0.9，若A城市供电量为20亿度/月，B城市为10亿度/月，结合x的取值范围，即可得到月供电总费用y表示成x的函数；
（2）由（1）所得的函数解析式，结合二次函数性质，先进行配方，开口向上，对称轴为不在定义域内，根据函数的单调性可知当x=40米时，y最小．
点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，二次函数的性质，其中在利用函数数学模型解答实际问题时，定义域（自变量x的取值范围）是易忽略而致错的点．