Question

14．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$（x∈R，e=2.71828…）
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明函数f（x）在R上是增函数；
（3）是否存在实数k，使不等式f（x-k）+f（x²-k²）≥0对任意x∈R恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求f（-x）=-f（x），从而说明f（x）为R上的奇函数；
（2）根据增函数的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式，证明f（x₁）＜f（x₂），便可得出f（x）在R上单调递增；
（3）根据f（x）为奇函数且在R为增函数，便可由f（x-k）+f（x²-k²）≥0恒成立得到x-k≥k²-x²恒成立，即x²+x-k²-k≥0恒成立，从而有△≤0，这样即可得出k的值．

解答 解：（1）$f（-x）=\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{2}=-f（x）$；
∴f（x）为奇函数；
（2）证明：设x₁＜x₂，则：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{-{x}_{1}}}{2}-\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{-{x}_{2}}}{2}$=$\frac{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）}{2}$；
∵x₁＜x₂；
∴${e}^{{x}_{1}}＜{e}^{{x}_{2}}$，${e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上是增函数；
（3）∵f（x）为奇函数，且在R上为增函数；
∴由f（x-k）+f（x²-k²）≥0得，f（x-k）≥f（k²-x²）；
∴x-k≥k²-x²；
∴x²+x-k²-k≥0在R上恒成立；
∴△=1+4（k²+k）≤0；
∴（2k+1）²≤0；
∴2k+1=0；
∴$k=-\frac{1}{2}$；
即存在实数k=$-\frac{1}{2}$，使f（x-k）+f（x²-k²）≥0恒成立．

点评 考查奇函数的定义，增函数的定义，以及根据增函数定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），作差后为分式的一般要通分，一般要提取公因式，指数函数的单调性，一元二次不等式恒成立时判别式△的取值情况．