Question

正四面体的四个顶点都在表面积为36π的一个球面上，求这个四面体的高.

Answer 1

解析：设球的半径为R，则S_球=4πR².∴4πR²=36π R=3.如图，

正四面体A—BCD，H₁、H₂分别是A、B在底面BCD和底面ACD的射影，AH₁与BH₂交于O，AH₂与BH₁交于E，则E为CD的中点，O为球心，H₁、H₂分别为△BCD和△ACD的中心.显然OA=R=3.

令AB=a，则AE=a，AH₂=AE=a,H₂E=H₁E= AE=a,

∴AH₁=a.

显然△AH₂O∽△AH₁E，∴OA·AH₁=AH₂·AE.

∴3·a=a·a.

∴a=2.∴AH₁=×2=4.

∴四面体的高为4.