Question

已知函数f(x)=

-( 1 2 )x，a≤x＜0 -x2+2x， 0≤x≤4

的值域为[-8，1]，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域,指数函数的定义、解析式、定义域和值域

专题：函数的性质及应用

分析：由二次函数的性质可得当0≤x≤4时，函数的值域刚好为[-8，1]，故只需y=-(

1

2

)x，a≤x＜0的值域为[-8，1]的子集，可得a的不等式，结合指数函数的单调性可得．

解答： 解：当0≤x≤4时，f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=1，
故函数在[0，1]单调递增，[1，4]单调递减，
当x=1时，函数取最大值1，当x=4时，函数取最小值-8，
又函数f（x）的值域为[-8，1]，
∴y=-(

1

2

)x，a≤x＜0的值域应为[-8，1]的子集，
又y=-(

1

2

)x单调递增，∴y∈[-(

1

2

)a，-1），
故只需-(

1

2

)a≥-8即可，解得-3≤a＜0
故答案为：-3≤a＜0．

点评：本题考查函数的值域，涉及分段函数和指数函数，属基础题．