Question

向量

a

=(

3

sin2x，cos2x)，

b

=(sin2x，sin2x)，函数f(x)=

a

•

b

+t(t∈R)．
（1）指出函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当x∈[-

π

12

，

π

6

]时，函数f（x）的最大值为

3

，求函数f（x）的最小值并求此时的x的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=(

3

sin2x，cos2x)，

b

=(sin2x，sin2x)，函数f(x)=

a

•

b

+t(t∈R)．由向量数量积公式，及辅助角公式，我们将函数f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质，求出函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）已知中函数的解析式，结合正弦型函数的图象和性质，结合已知中当x∈[-

π

12

，

π

6

]时，函数f（x）的最大值为

3

，我们易求出构造关于参数t的方程，解方程求出t值，即可得到函数f（x）的最小值并求此时的x的值．

解答：解：（1）∵向量

a

=(

3

sin2x，cos2x)，

b

=(sin2x，sin2x)，
又∵函数f(x)=

a

•

b

+t(t∈R)
∴f(x)=sin(4x-

π

3

)+t+

3

2

∴f（x）的最小正周期是

π

2

其单调递增区间是[

kπ

2

-

π

24

，

kπ

2

+

5π

24

](k∈Z)
（2）由x∈[-

π

12

，

π

6

]⇒-

2π

3

≤4x-

π

3

≤

π

3

⇒-1≤sin(4x-

π

3

)≤

3

2

，
∴当sin(4x-

π

3

)=

3

2

时，
f(x)max=t+

3

=

3

⇒t=0
∴当sin(4x-

π

3

)=-1
，4x-

π

3

=-

π

2

⇒x=-

π

24

时，
f(x)min=

3

2

-1

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积，辅助角公式，正弦函数的定义域、值域、最小正周期、函数的单调性、函数的最值，是向量和三角函数的综合应用，求出正弦型函数的解析式，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键．