Question

已知动点P的轨迹为曲线C，且动点P到两个定点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离|

PF1

|，|

PF2

|的等差中项为

2

．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l过圆x²+y²+4y=0的圆心Q与曲线C交于M，N两点，且

ON

•

OM

=0(O为坐标原点），求直线l的方程；
（3）设点A(1，

1

2

)，点P为曲线C上任意一点，求|

PA

|+

2

|

PF2

|的最小值，并求取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件推断出|

PF1

|+|

PF2

|的值，进而求得椭圆方程中的长轴长，则a可求，利用定点坐标求得焦距，则b可求得，最后求得椭圆的方程．
（2）设出M，N的坐标，利用

ON

•

OM

=0(O判断出x₁x₂+y₁y₂=0设出直线l的方程代入椭圆的方程消去y，利用韦达定理表示出x₁x₂和x₁+x₂利用直线方程求得y₁y₂，代入x₁x₂+y₁y₂=0求得k，则直线l的方程可得．
（3）先利用椭圆的第二定义表示出到焦点与准线的距离求得点P到右准线的距离与|

PF2

|的关系式，进而推断出此时|

PA

|+d的最小值为点A到右准线x=2的距离，则点P的坐标和最小距离可求得．

解答：解：（1）据已知|

PF1

|+|

PF2

|=2

2

，
所求曲线C是椭圆，长轴2a=2

2

，a=

2

，c=1，
所以椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

ON

•

OM

=0?x1x2+y1y2=0，
设l：y=kx-2，
y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，y₁y₂=k²x₁•x₂-2k（x₁+x₂）+4，
（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0（*）．
联立

x2

2

+y2=1，得x²+2（kx-2）²=2，
x₁，x₂为上述方程的两根，
∴x1x2=

6

1+2k2

，x1+x2=

8k

1+2k2

代入（*）得k2=5?k=±

5

，
所求直线l为：

5

x-y-2=0或

5

x+y+2=0
（3）椭圆的右准线为x=2，设点P到右准线的距离为d，
则

| PF2 |

d

=

2

2

?d=

2

|

PF2

|，|

PA

|+

2

|

PF2

|=|

PA

|+d，
此时|

PA

|+d的最小值为点A到右准线x=2的距离，(|

PA

|+d)min=1，
此时点P的坐标为(

6

2

，

1

2

)．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆与直线的关系．考查了考生分析问题和解决问题的能力．