Question

（2013•济南二模）设函数f(x)=sin(ωx+

π

3

)+sin(ωx-

π

3

)+

3

cosωx（其中ω＞0），且函数f（x）图象的两条相邻的对称轴间的距离为

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，

π

2

]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为2sin(ωx+

π

3

)，再根据周期求得ω的值．
（2）由（1）得f（x）=2sin(2x+

π

3

)，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin(x+

π

3

)，由x∈[0，

π

2

]，根据正弦函数的定义域和值域求得函数g（x）在区间[0，

π

2

]的最大值和最小值．

解答：解：（1）由于f(x)=sinωx+

3

cosωx=2sin(ωx+

π

3

)．…（3分）
∵函数f（x）图象的两条相邻的对称轴间的距离为

π

2

，∴T=

2π

ω

=π．…（5分）
∴ω=2．…（6分）
（2）由（1）得f（x）=2sin(2x+

π

3

)，∴g（x）=2sin(x+

π

3

)．…（8分）
由x∈[0，

π

2

]可得

π

3

≤x+

π

3

≤

5

6

π，…（10分）
∴当x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

6

时，g（x）取得最大值为 g(

π

6

)=2sin

π

2

=2；
当x+

π

3

=

5π

6

，即x=

π

2

时，g（x）取得最小值为 g(

π

2

)=2sin

5π

6

=1．…（12分）

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．