Question

已知命题：“若数列{a_n}为等差数列，且a_m=a，a_n=b（m≠n，m，n∈N⁺），则am+n=

ma-nb

m-n

”．现已知数列{b_n}（b_n＞0，n∈N⁺）为等比数列，且b_m=a，b_n=b（m≠n，m，n∈N⁺）．
（1）请给出已知命的证明；
（2）类比（1）的方法与结论，推导出b_m+n．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的性质可分别表示出a_m+n，联立方程求得a_m和a_n的值，代入原来的方程组中联立求得（m-n）a_m+n=ma-nb，则a_m+n的表达式可得．
（2）根据等差数列的性质可分别表示出b_n+m，联立方程求得b_m和b_n的值，代入原来的方程组中联立求得

b

m+n m-n

=

am

bn

，则b_m+n的表达式可得．

解答：解：（1）因为在等差数列{a_n}中，由等差数列性质得

am+n=am+nd am+n=an+md

，又a_m=a，a_n=b，
∴

am+n=a+nd am+n=b+md

，得

mam+n=ma+mnd nam+n=nb+mnd

，两式相减得（m-n）a_m+n=ma-nb，
∴am+n=

ma-nb

m-n

．
（2）在等比数列{b_n}中，由等比数列的性质得

bm+n=bm•qn bm+n=bn•qm

，
又b_m=a，b_n=b，∴

bm+n=a•qn bm+n=b•qm

，得

b m m+n =am•qmn b n m+n =bn•qmn

，两式相除得

b

m-n m+n

=

am

bn

，
∴bm+n=

m-n	am bn

．

点评：本题主要考查了等比数列和等差数列的性质．考查了等比数列和等差数列通项公式的应用．